Взаимно обратные функции

1. Общие понятия
2. Характеристики взаимно обратных функций
3. Поиск обратной функции
4. Задачи по определению обратной функции

Общие понятия

Предположим, что  множество \(X\) и множество \(Y\) принадлежат к множеству действительных чисел. Рассмотрим суть обратимой функции.

Обратимой называется такая функция \(f:X→Y\), которая отображает множество \(X\) в множестве \(Y\), в ней для любых составляющих \(x_1,x_2  ∈X\) при \(x_1≠x_2\), вытекает, что \(f(x_1)≠f(x_2)\).

Рассмотрим также, что такое обратная функция. Допустим функция \(f:X→Y\), что отображает множество \(X\) в множестве \(Y\) является обратимой. Значит функция \(f^(-1):X→Y\), что отображает множество \(X\) в множестве \(Y\) определяющаяся условием \(f^{-1} (y)=x\) будет обратной для \(f(x)\).

Разберем основную теорему: Пускай функция \(y=f(x)\) определена, монотонно возрастает или убывает и является непрерывной в определенном промежутке множества \(X\), то в соответственном промежутке множества \(Y\) значений данной функции у нее есть обратная функция, тоже монотонно возрастающая или убывающая и непрерывна в этом промежутке множества \(Y\).

Рассмотрим суть взаимно обратных функций. Функции \(f(x)\) и \(f^{(-1)} (y)\), рассмотренные выше, являются взаимно
обратными.

Характеристики взаимно обратных функций

Пускай даны взаимно обратные функции \(y=f(x);x=g(y)\). Это значит, что для них справедливы следующие свойства:

• \(y=f(g(y)); x=g(f(x))\);
• если одна из функций убывающая (возрастающая), то и другая тоже будет убывающей (возрастающей);
• графики функций \(y=f(x);x=g(y)\) будут симметричны относительно прямой \(y=x\);
• промежуток определений функции \(y=f(x)\) равняется промежутку значений функции \(x=g(y)\), и наоборот, промежуток определений функции \(x=g(y)\) равняется промежутку значений функции \(y=f(x)\).

Поиск обратной функции

Разберем алгоритм поиска обратной функции:

1. Решают уравнение \(y=f(x)\) для переменной \(x\).
2. В результате решения получают корни и определяют их отношение к промежутку \(X\).
3. Полученные x сопоставляют числу \(y\).

Разберем пример решения подобной задачи:

Дана функция \(y=x^2\). Определить обратную ей функцию в промежутке \(X=[-1,0]\).
Данная функция является убывающей и непрерывной в промежутке \(X\), это значит, что согласно теореме об обратных функциях, она тоже убывающая и непрерывная в промежутке \(Y=[0,1]\).
Рассчитаем значения \(x\):

\(y=x^2; x=±√y\).

Определяем подходящие значения \(x\):

\(x=-√y\).

Значит обратной будет функция \(y=-√x\).

Задачи по определению обратной функции

1) Определить функцию, обратную к заданной \(y=x^3\).
 

Решение: Поскольку функция непрерывна и возрастает во всем промежутке определения, то, согласно теореме, в этой области у нее есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая. Решим задачу по алгоритму:

1. Определим из уравнения \(х\) : \( y=x^3; x=∛y\).
2. Определяем нужные значения \(x\): в данном варианте подходят все значения, поскольку промежутком определения есть все существующие числа.
3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию следующего вида: \(y=∛x\).

2) Определить функцию, что обратна к заданной \(y=x+4\).

Решение: Поскольку функция непрерывная и возрастающая на всем промежутке определения, то, согласно теореме, в этой области у нее есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая. Решим задачу по алгоритму:

1. Определим из уравнения \(х\): \(y=x+4; x=y-4\).
2. Определяем нужные значения x: в данном варианте подходят все значения, поскольку промежутком определения есть все существующие числа.
3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=x-4\).

3) Определить функцию, которая обратна к заданной \(y=tgx\) в промежутке \([-{π \over 2}, {π \over 2}]\).

Решение: В множестве \(X=[-{π \over 2}, {π \over 2}]\) функция \(y=tgx\) непрерывна и возрастает на множестве \(X\), она отображающая множество \(X=[-{π \over 2}, {π \over 2}]\) на множестве \(Y=R\), потому, согласно теореме об обратной функции, в этой области у функции \(y=cosx\) в множестве \(Y\) есть обратная функция, что тоже непрерывна и возрастает в множестве \(Y=R\), она отображающая множество \(R\) на множестве \([-{π \over 2}, {π \over 2}]\). Решим задачу по алгоритму:

1. Определим из уравнения \(х\) : \(y=tgx ; x=arctgy+πn,n∈Z\).
2. Определяем нужные значения \(х\) : \(x=arctgy\).
3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=arctgx\).

4) Определить функцию, которая обратна к заданной \(y=cosx\) в промежутке \([0,π]\).

Решение: В множестве \(X=[0,π]\) функция \(y=cosx\) непрерывна и убывает на множестве \(X\) и отображает множество\( X=[0,π]\) на множестве  \(Y=[-1,1]\), потому, согласно теореме об обратных функциях, в этой области у функции \(y=cosx\) в множестве \(Y\) есть обратная функция, тоже непрерывная и возрастающая в множестве \(Y=[-1,1]\) и отображающая множество \([-1,1]\) на множестве  \([0,π]\). Решим задачу по алгоритму:

1. Определим из уравнения \(х\) : \(y=cosx ; x=±arccosy+2πn,n∈Z\).
2. Определяем нужные значения \(х\) : \( x=arccosy\).
3. Пересмотрев переменные получаем обратную функцию такого вида: \(y=arccosx\).