Каждая комплексная функция \(w=f(z)=f(x+iy)\) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\) определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно.
Функции \( u,v\) называются компонентами комплексной функции \(f(z)\).
Далее всюду, где говорится об ограниченности комплексной функции, имеется в виду ограниченность её модуля (из чего следует ограниченность в обычном смысле обеих компонент).
Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если \( \lim _{z\to a+bi}f(z)=A+Bi\), то \( \lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A\) и \(\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B.\). Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.
Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше. Например, отсутствует прямой аналог теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.
\(\varepsilon \) -окрестность числа \( z_{0}\) определяется как множество точек \(z\), удалённых от \( z_{0}\) менее чем на \( \varepsilon\):
\( |z-z_{0}|<\varepsilon \)
На комплексной плоскости \( \varepsilon \) -окрестность представляет собой внутренность круга радиуса \(\varepsilon \) с центром в \( z_{0}\).
Решение всех вариантов типового расчёта ТР 12: «Теория функций комплексного переменного»
Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина (РГРТУ им. В.Ф. Уткина)
Высшая математика