Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным.
Например, \( f’\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)\) не является дифференциальным уравнением.
В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).
Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.
Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.
Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных.
Задания для типового расчёта ТР9: «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»
Типовые задания:
Задание 1: Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Задание 2: Решить однородное дифференциальное уравнение.
Задание 3: Найти частное решение линейного дифференциального уравнения.
Задание 4: Найти решение задачи Коши.
Задание 5: Решить дифференциальное уравнение.
Задание 6: Найти общее решение дифференциального уравнения.
Задание 7: Найти решение задачи Коши.
Задание 8: Записать фундаментальную систему решений.
Задание 9: Найти общее решение ЛОДУ, если корни его
характеристического уравнения имеют следующий вид.
Задание 10: Записать частное решение ЛНДУ с неопределенными коэффициентами, не вычисляя их.
Задание 11: Найти решение задачи Коши.
Задание 12: Найти общее решение ЛНДУ с неопределёнными коэффициентами, не вычисляя их.
Задание 13: Найти решение задачи Коши.
Задание 14: Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
- исключением неизвестной
- матричным методом
Задание 15: Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
- методом вариации произвольных постоянных
- операторным методом
Задание 16: Операционным методом решить задачу Коши.
Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина (РГРТУ им. В.Ф. Уткина)
Высшая математика