Типовой расчёт 4: «Предел и непрерывность»
Понятия предельного перехода и непрерывности пронизывают насквозь весь курс математического анализа. Однако их освоение вызывает определенные трудности у студентов. Поэтому одна из целей данного пособия — на основе системы упражнений и примеров развить математическую интуицию и логическое мышление читателей, содействовать воспитанию общематематической культуры. Особое внимание в пособии уделяется рассмотрению глобальных свойств непрерывных функций, поскольку их использование при решении прикладных задач является зачастую важнейшим, но неосознаваемым моментом.
[mathjax]
Пределом функции (предельным значением функции) в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности. Изначально под пределом функции \(f(x)\)в точке \( x\) понимали предел последовательности значений функции: \( f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),\dots \), соответствующих последовательности элементов области определения функции \(x_{1},x_{2},x_{3}\dots\), сходящейся к точке \(x\). Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в любой окрестности данной точки существуют точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. При этом предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо конкретно указывать способ сходимости функции, для чего вводят так называемую базу подмножеств области определения функции, и тогда определение предела функции формулируют по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Также благодаря рассмотрению расширенной вещественной прямой (на которой базу окрестностей можно построить и для бесконечно удалённой точки) можно определить такие понятия, как предел функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также стремление самой функции к бесконечности. Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента) как раз представляет собой пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции в точке означает, что для любого заданного значения области значений можно подобрать такую окрестность этого значения, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке.
Задания к типовому расчёту ТР 4: «Предел и непрерывность»
Типовые задания:
Задание 1. Для последовательности, заданной рекуррентной формулой, записать первые 4 члена последовательности.
Задание 2. Доказать по определению предела числовой последовательности, что… Заполнить таблицу.
Задание 3. Вычислить предел.
Задание 4. Вычислить предел.
Задание 5. Вычислить предел.
Задание 6. Вычислить предел.
Задание 7. Вычислить предел.
Задание 8. Вычислить предел.
Задание 9. Вычислить предел.
Задание 10. Вычислить предел.
Задание 11. Вычислить предел.
Задание 12. Вычислить предел.
Задание 13. Вычислить предел.
Задание 14. Вычислить предел.
Задание 15. Вычислить предел.
Задание 16. Найти область определения функции
Задание 17. Найти наименьший положительный период
Задание 18. Исследовать на непрерывность данную функцию. Найти точки разрыва и указать их характер. Построить схематично график данной функции.
Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина (РГРТУ им. В.Ф. Уткина)
Высшая математика