Типовой расчёт 11: «Ряды»
[mathjax]
Ряд, называемый также бесконечная сумма — одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел: \( a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad \)
Краткая запись: \({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}\) (иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с 0)
Здесь \( a_{1},a_{2},a_{3}\dots \) — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.
Чтобы присвоить числовому ряду значение суммы, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:
$$S_{1}=a_{1} $$
$$ S_{2}=a_{1}+a_{2} $$
$$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3} $$
$$ \cdots \cdots $$
$$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n} $$
$$ \cdots \cdots$$
Если последовательность частичных сумм имеет предел \( S\) (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна \(S.\) При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.
Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости.
Числовые ряды и их обобщения (см. ниже о нечисловых рядах) используются повсеместно в математическом анализе для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций, при решении алгебраических или дифференциальных уравнений. Разложение функции в ряд можно рассматривать как обобщение задания вектора координатами, эта операция позволяет свести исследование сложной функции к анализу элементарных функций и облегчает численные расчёты. Ряды — незаменимый инструмент исследования не только в математике, но и в физике, астрономии, информатике, статистике, экономике и других науках.
Задания для типового расчёта ТР 11: «Ряды»
Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина (РГРТУ им. В.Ф. Уткина)
Высшая математика