МУ 4970: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Лабораторная работа 1-20: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Цель работы: изучение динамики вращательного движения твердых тел, знакомство с одним из методов определения моментов инерции тел – методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: унифилярный подвес ФПМ05, снабженный набором твердых тел (грузов) различной формы и электронным миллисекундомером.

Элементы теории

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид:

$$I \phi^{»}=M$$

Формула 1

М – момент действующих на тело сил, взятый относительно оси вращения;

I – момент инерции тела относительно той же оси;

ϕ′′ – угловое ускорение тела.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы m точки и квадрата её расстояния r от оси:

$$I=mr^2$$

Формула 2

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек (элементарных масс △mi ), на которые можно разбить тело:

$$I= \sum_i \triangle m_i r_i^2$$

Формула 3

В предельном случае, когда число элементарных масс стремится к бесконечности, сумма переходит в интеграл:

$$I=\int_m r^2dm= \int_V \rho r^2dV$$

Формула 4

ρ плотность вещества,

V – объём тела.

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей, а момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в систему.

Существуют различные способы экспериментального определения моментов инерции твердых тел. В данной работе используется метод вращательных (крутильных) колебаний.

Исследуемая система представляет собой твердое тело (например, брусок), подвешенное на струне, концы которой закреплены (рис. 1). После отклонения бруска на некоторый угол j от положения равновесия система начнет совершать крутильные колебания.

МУ 4970: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

На основании формулы (1) уравнение движения бруска при малых углах отклонения ϕ примет вид:

$$I \phi^{»}=-r \phi^{‘}-k \phi$$

Формула 5

I – момент инерции бруска относительно оси вращения;

r – коэффициент момента сил сопротивления;

k – коэффициент возвращающего (упругого) момента.

Коэффициент r численно равен моменту сил сопротивления при угловой скорости ϕ , равной 1 рад/с. А коэффициент k численно равен моменту упругих сил, возникающих при закручивании нити (струны) на угол, равный 1 рад.

Если сопротивление среды невелико, то первым членом правой части в уравнении (5) можно пренебречь и записать его в виде:

$$I \phi^{»}=-k \phi$$

или

$$\phi^{»}+\frac {k}{I} \phi=0$$

Обозначив kI = w2 , окончательно получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

$$\phi^{»}+w^2 \phi=0$$

Формула 6

Решение этого уравнения имеет вид:

$$\phi{}(t)= \phi_0 sin(wt+\alpha)$$

Формула 7

ϕ0 – угловая амплитуда колебаний;

w циклическая частота;

α начальная фаза.

Как следует из приведенного решения (7), тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия. Циклическая частота w и период колебаний Т определяются величинами I и k по формулам:

$$w=\sqrt{\frac{k}{I}}$$

$$T=\frac{2 \pi}{w}=2 \pi \sqrt{\frac{I}{k}}$$

Формула 8

Описание экспериментальной установки

Работа выполняется на установке – унифилярном подвесе ФПМ05, общий вид которого изображен на рис. 2.

МУ 4970: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Подвес представляет собой настольный прибор, на вертикальной стойке 1 которого размещены верхний и нижний кронштейны 2. Между кронштейнами 2 на стальной проволоке 3 подвешена рамка 4, предназначенная для установки и закрепления исследуемых тел 5, имеющих различные формы. В центрах граней грузов, в серединах их ребер и у вершин имеются углубления для закрепления в рамке.

На кронштейне 6 размещены: шкала 7, предназначенная для определения начального угла поворота рамки, электромагнит 8 для фиксации рамки в заданном положении и блок питания электромагнита 12. Электромагнит фиксируется в требуемом положении винтом 9.

На том же кронштейне 6 закреплен фотоэлектрический датчик 10. На основании 13 размещен миллисекундомер физический комбинированный 11, служащий для отсчета времени и числа колебаний.

В качестве исследуемых тел используются металлические грузы: цилиндр, параллелепипед и куб. Исследуемый груз закрепляется в рамке, начальное положение которой фиксируется электромагнитом. После отключения электромагнита (тумблер на блоке питания) рамка с грузом начинает совершать крутильные колебания.

Во время колебаний флажок, установленный на рамке, пересекает световой поток в щели фотоэлектрического датчика и сигнал, снимаемый с фотодиода, поступает на миллисекундомер.

Метод крутильных колебаний

Этот метод заключается в следующем. Тело с неизвестным моментом инерции I закрепляют в рамке подвеса. Период колебания такой системы будет равен

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{I_0+I}{k}}$$

Формула 9

I0 – момент инерции ненагруженной рамки,

k – коэффициент упругости проволоки подвеса.

Согласно формуле (9) момент инерции I исследуемого тела можно вычислить, зная величины T, I0 и k. Период T колебаний несложно определить, измерив время t, за которое совершается N полных колебаний:

$$t=NT=2 \pi N \sqrt{\frac{I_0+I}{k}}$$

Формула 10

Для того, чтобы исключить неизвестные величины I0 и k, нужно измерить время t0 колебаний ненагруженной рамки, а также время tЭ колебаний рамки, нагруженной эталонным телом – телом с известным моментом инерции IЭ.

Таким образом, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases}t^2= 4 \pi ^2 N^2 (I_0+I)/k \\t_0^2= 4 \pi ^2 N^2 I_0/k \\ t_Э^2= 4 \pi ^2 N^2 (I_0+I_Э)/k\end{cases}$$

Формула 11

Решая данную систему уравнений, получаем формулу для момента инерции выбранного нами тела:

$$I=I_Э \frac{t^2-t^2_0}{t_Э^2-t^2_0}$$

Формула 12

Из выражения (12) следуют формулы для предельной относительной погрешности определяемого момента инерции:

$$\begin{cases} E_I=E_{Iэ}+\frac{2 \triangle t (t+t_э)}{(t+t_0))(t_э-t_0)}, при & t>t_э; \\ E_I=E_{Iэ}+\frac{2 \triangle t (t+t_э)}{(t-t_0))(t_э+t_0)}, при & t_э>t; \\ \end{cases}$$

Формула 13

E  = △Iэ / Iэ относительная погрешность момента инерции эталонного тела;

t – погрешность измерения промежутка времени N полных колебаний рамки (предполагается, что эта погрешность одинакова для всех трех случаев измерения: t0, t и tэ).

Формулы (12) и (13) являются основными формулами для обработки результатов измерений, однако расчет существенно упрощается, если формулу (12) переписать в виде:

$$I=I_э \frac{t-t_0}{t_э-t_)}[1+\frac{t-t_э}{t_э+t_0}]$$

Формула 14

Если, кроме того, измеряемые промежутки времени t и tэразличаются незначительно, то малым по сравнению с единицей членом но пренебречь и представить (14) в виде:

$$I=I_э \frac{t-t_0}{t_э-t_0}$$

Формула 15

Справедливость формулы (15) проверяется путем сравнения величины (t — tэ) (tэt0 ) с относительной погрешностью результата EI, определяемой уравнением (13). Она справедлива, если:

$$E_I=\frac{\triangle I}{I}\geq\frac{|t-t_э|}{t_э+t_0}$$

Формула 16

Из уравнения (13) также следует, что чем больше полное время колебаний рамки, тем точнее получается результат. Поэтому в процессе прямых измерений рекомендуется измерять времена t0, t и tэдля

N = 50 колебаний рамки.

Задание

В задание входит определение моментов инерции двух тел различной формы относительно их центра масс теоретически и экспериментально.

Для теоретического расчёта моментов инерции по известным массам и размерам тел используются следующие выражения:

$$I_ц=\frac{1}{2}m_цR^2$$

$$I_n=\frac{1}{12}m_n (a^2+b^2)$$

Формула 17

и Iп — моменты инерции цилиндра и параллелепипеда соответственно;

mц и mn массы тел;

R – радиус цилиндра;

a, b – размеры параллелепипеда.

Расчёт моментов инерции данных тел по экспериментально полученным данным производится по формулам (14) или (15). Необходимо также оценить абсолютные и относительные погрешности рассчитанных моментов инерции исследуемых грузов.

Порядок выполнения работы

Подготовка установки к работе

  1. Включите в сеть шнур питания миллисекундомера. Нажмите кнопку «СЕТЬ» на лицевой панели, при этом должны загореться цифровые индикаторы.
  2. После прогрева миллисекундомера (1–2 минуты) включите тумблер блока питания электромагнита.
  3. Ослабив стопорный винт электромагнита, установите его на угол, указанный преподавателем, в пределах 60-100º. Зафиксируйте электромагнит в этом положении тем же самым винтом.
  4. Поверните рамку так, чтобы металлический флажок, установленный на рамке, коснулся якоря электромагнита. При этом флажок притянется к якорю и рамка займет фиксированное положение.
  5. С помощью кнопок «СТОП» и «СБРОС» миллисекундомера обнулите счетчики числа и времени колебаний. Прибор готов к работе.

Проведение измерений

  1. Выключите тумблер блока питания электромагнита, при этом рамка начнет совершать колебательное движение и запустятся счетчики миллисекундомера. После N–1 полных колебаний рамки нажмите кнопку «СТОП» – отсчетное устройство, доработав до конца 50-го колебания, остановит счетчики. Запишите время t0время 50-ти колебаний ненагруженной рамки. Число полных колебаний рамки может быть задано преподавателем дополнительно в пределах 30-60.

Остановив рукой колеблющуюся рамку, повторите операции, описанные в пп. 1.4, 1.5 и 2.1, еще два раза. Результаты измерений занесите в заранее подготовленную таблицу.

МУ 4970: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний
  1. Для закрепления исследуемого тела в рамке остановите рамку и освободите подвижную планку, отвернув гайки боковых цанг.
  2. Поднимите планку по направляющим и, придерживая её рукой, установите груз так, чтобы соответствующее углубление в центре одной из граней вошло в выступ на нижней перекладине рамки.
  3. Опустите подвижную планку по направляющим, затяните гайки боковых цанг и подожмите исследуемое тело винтом, находящимся на подвижной планке.
  4. Включите электромагнит и повторите операции, описанные в пп. 1.4, 1.5 и 2.1, три раза, результаты измерений занесите в таблицу.
  5. Для замены груза остановите рамку, отпустите гайки боковых цанг, переместите подвижную планку вверх и замените первый груз на второй, закрепив его в рамке, как указано в п. 2.4.
  6. Измерьте время 50-ти полных колебаний второго груза и эта- лонного тела по методике, описанной выше. В качестве эталонного тела можно использовать куб или цилиндр по указанию преподавателя. Результаты измерений занесите в таблицу.
  7. Измерьте размеры исследуемых тел простейшим измерительным прибором (штангенциркулем) и запишите эти значения, а также массу грузов в отчёт о лабораторной работе.

Порядок расчёта

  1. По выражениям (17), определяющим моменты инерции данных тел через массу и размеры, рассчитайте момент инерции эталонного тела (цилиндра или куба по указанию преподавателя). Оцените абсолютную погрешность по формулам:

$$\triangle J_{эц}=2< J_{эц}> \frac{\triangle R}{R}$$

$$\triangle J_{эк}=2< J_{эк}> \frac{\triangle a}{a}$$

Формула 18,19

R – радиус цилиндра;

a – сторона куба;

Jэц и Jэк моменты инерции цилиндра и куба, рассчитанные по выражениям (17);

R и △a – систематическая погрешность измерений радиуса цилиндра и стороны куба соответственно.

  1. Рассчитайте относительную погрешность момента инерции эталонного тела.
  2. Используя данные таблицы, вычислите абсолютную и относительную погрешности измеренных промежутков времени t0 , t1 , t2 .
  3. По средним значениям промежутков времени N полных колебаний рамки с исследуемыми телами и без оцените относительные погрешности моментов инерции исследуемых тел по выражению (13).

Сравните последние с величиной |t — tэ| /  (tэt0 ) . Если неравенство (16) выполняется, то расчёт моментов инерции исследуемых грузов можно производить, применяя упрощённую формулу (15). В противном случае нужно использовать более точное выражение (14). Рассчитайте по соответствующим формулам моменты инерции исследуемых тел, а также абсолютные погрешности этих моментов инерции.

  1. По выражениям (17) вычислите теоретические моменты инерции исследуемых тел через массу и размеры. Оцените абсолютные по- грешности полученных значений моментов инерции по формулам (18) и (19), а также относительные погрешности.
  2. Сравните экспериментально полученные значения моментов инерции исследуемых тел с результатами расчётов по теоретическим формулам и сделайте соответствующие выводы.

Вопросы и задания для самоконтроля

  1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

    .

  2. Дайте определение момента инерции твердого тела. Как его рассчитать теоретически?

    .

  3. Получите дифференциальное уравнение крутильных колебаний, прокомментируйте его.

    .

  4. Запишите уравнение колебательного движения крутильных колебаний. Чем определяется их период?

    .

  5. Каковы прямые измерения в данной работе? В чем состоит роль эталонного тела?

    .

МУ 4970: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Используя формулу (4), покажите, что моменты инерции цилиндра и прямоугольного параллелепипеда (рис. 3) относительно вертикальной оси их симметрии, проходящей через центр их масс, определяются выражениями (17).

Библиографический список

  1. Савельев И.В. Курс физики: учебник. 4-е изд. т. 1: Механика. Молекулярная физика. М.: Лань, 2008. 354 с.
  2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учеб. пособие для вузов. 8-е изд. М.: Академия, 2009. 720 с.
  3. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. 18-е изд. М.: Академия, 2010. 560 с.

УДК 537.226.4

Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний: методические указания к лабораторной работе / Рязанский государственный радиотехнический университет; cост.: М.А. Буробин, А.В. Брыков, Ю.В. Черкасова. Рязань, 2016. 8 с.

Представлена краткая теория крутильных колебаний, описан метод унифилярного подвеса. Приводятся порядок выполнения работы, методические указания по расчету погрешностей, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы.

Предназначены для студентов всех направлений подготовки бакалавров и специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 3. Библиогр.: 3 назв.

Вращательное движение твердого тела, момент инерции, крутильные колебания

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой доц. М.В. Дубков)

Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний Составители: Буробин   Михаил Анатольевич

Брыков   Александр Валериевич Черкасова Юлия Вадимовна

Редактор М.Е. Цветкова Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 15.02.16. Формат бумаги 60×84 1/16.

Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТУ.