МУ 4866: Изучение сил вязкого трения

Лабораторная работа 1-8: Изучение сил вязкого трения

Цель работы: изучение явления вязкого трения и одного из методов определения вязкости жидкостей.

Элементы теории и метод эксперимента

При движении тел в жидкостях и газах на тела действуют силы внутреннего трения. Эти силы присущи всем реальным жидкостям и газам и составляют основу понятия вязкости. Вязкость − важная физическая характеристика веществ. Значение вязкости приходится учитывать при перекачивании жидкостей и газов по трубам (нефтепроводы, газопроводы), вязкость расплавленного стекла определяет процесс его выработки, большую роль играет вязкость в процессах выплавки металлов и т.д.

В физике явление вязкости относится к так называемым явлениям переноса. К ним также относятся явления диффузии (на молекулярно-кинетическом уровне объяснение явления связано с переносом вещества – атомов или молекул) и теплопроводности (перенос энергии при столкновениях молекул). С точки зрения молекулярно-кинетической теории вязкость объясняется переносом импульса при взаимодействии молекул.

МУ 4866: Изучение сил вязкого трения 1 – Студенты России

При ламинарном течении жидкости или газа между слоями, движущимися с различной скоростью, действуют силы, обусловленные вязкостью. Если два слоя

площадью S (рис. 1) находятся на расстоянии ∆z и движутся с различными скоростями, так что ∆v = v2v1, между ними возникает сила вязкого трения, пропорциональная градиенту скорости ∆v/∆z в направлении, перпендикулярном к направлению течения, и площади слоев S. Этот эмпирический закон открыл Ньютон (Newton, 1687 г.):

$$F=\eta \frac {\triangle v}{\triangle z}S$$

Формула 1

где коэффициент η по определению называется вязкостью или коэффициентом внутреннего трения.

Из формулы (1) видно, что вязкость измеряется в паскаль-секундах (Па·с). Используют и более мелкую единицу вязкости − пуаз (П), названную так в честь французского физика Пуазейля: 1 Па·с = 10 П.

Движение жидкости (газа) в круглой трубе. Рассмотрим ламинарное течение жидкости (газа) в трубе радиусом R (рис. 2).

Изучение сил вязкого трения. Физика
Ламинарное течение
МУ 4866: Изучение сил вязкого трения 10

Выделим в этой трубе трубку длиной L меньшего радиуса r. На внешнюю поверхность этой трубки будет действовать сила, обусловленная вязкостью:

$$F_{тр}=\eta \frac{dv}{dr}2\pi rL$$

Формула 2

При равномерном движении эта сила должна быть равна равнодействующей сил давления, влияющих на торцы этого малого цилиндрика, ограничивающего поверхность трубки:

$$F_{тр}=\eta \frac{dv}{dr}2\pi rL$$

Формула 3

Из условий F+Fтр=0 получаем дифференциальное уравнение для v(r):

$$(\frac {dv}{dt}=- \frac {(p_1-p_2)r}{2 \eta L}$$

Формула 4

Решением этого уравнения с учетом того, что вблизи стенок трубы скорость течения равна нулю, будет:

Из условий F+Fтр=0 получаем дифференциальное уравнение для v(r):

Из условий F+Fтр=0 получаем дифференциальное уравнение для v(r):

$$v(r)= \frac {p_1-p_2}{4 \eta L}R^2(1- \frac{r^2}{R^2})$$

Формула 5

Отсюда скорость течения на оси трубы:

$$v_0=v(0)= \frac{p_1-p_2}{4 \eta L}R^2$$

Формула 6

С учетом этого можно записать:

$$v(r)=v_0(1- \frac{r^2}{R^2})$$

Формула 7

Таким образом, изменение скорости по сечению трубы получается параболическим.

МУ 4866: Изучение сил вязкого трения 4 – Студенты России

Найдем    расход    (поток)     жидкости Q = ΔVt , т.е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца шириной dr (рис.3).

Через кольцо радиусом r за секунду пройдет объем жидкости, равный произведению площади кольца 2πrdr на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы:

.

$$dQ=v_0(1- \frac{r^2}{R^2}) 2 \pi r dr$$

Формула 8

Полный поток получается интегрированием:

$$Q=\int_{0}^{R} v_0(1- \frac{r^2}{R^2}) 2 \pi r dr = \frac {1}{2} \pi R^2 v_0$$

Формула 9

Из (9) и (6) получим формулу для потока:

$$Q= \frac {(p_1-p_2)\pi R^4}{8 \eta L} $$

Формула 10

Формула (10) называется формулой Пуазейля (Poiseuille, 1840). Согласно этой формуле поток жидкости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы, пропорционален четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.

Вязкость газов по молекулярно-кинетической теории (MKT). В газах вязкость обусловлена столкновением молекул, в жидкостях − межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул.

Рассмотрим два слоя газа, движущихся с разными скоростями (рис. 1). Если температура газа всюду одинакова, то средняя скорость движения молекул равна:

$$u= \sqrt {8kT/ \pi m}$$

Формула 11

где т − масса молекулы.

Так как молекула может двигаться по шести независимым направлениям в пространстве, то площадку S за  единицу времени пересечет N = unS/6 молекул, где п − концентрация молекул. Так как молекулы сталкиваются, проходя в среднем определенное расстояние, приблизительно равное средней длине свободного пробега λ, то импульс, связанный с направленным движением слоев со скоростями v1 и v2, будет передаваться слою, находящемуся между ними, если расстояние до него равно длине свободного пробега молекул, при этом изменение импульса молекул среднего слоя за время ∆t будет

$$\triangle p = \frac {1}{6} unS (mv_2-mv_1)\triangle t$$

Формула 12

Так как v(z) есть непрерывная функция координаты z, можно считать, что v2=v(z+λ), а v1=v(z-λ). Если размеры сосуда, в котором находится газ, много больше длины свободного пробега, то, полагая что λ можно считать очень малым изменением аргумента функции v(z), из определения производной следуют приближенные равенства:

$$v_2=v(z)+\frac {dv}{dz} \lambda$$

и аналогично

$$v_1=v(z)+\frac {dv}{dz} (-\lambda)$$

Формула 13

Если подставить эти выражения в формулу для изменения импульса и учесть, что по второму закону Ньютона изменение импульса равно импульсу силы (∆p = Ft), то из определения понятия коэффициента внутреннего трения с учетом того, что произведение массы молекулы на их концентрацию есть плотность газа (ρ = nm), для вязкости получается выражение:

$$\eta = \frac {1}{3} \rho \lambda u$$

Формула 14

Это     выражение     можно     преобразовать.    По     молекулярно-кинетической теории длина свободного пробега молекул

$$\lambda = \frac {1}{\sqrt2 \pi d^2 n}$$

Формула 15

где d − эффективный диаметр молекулы.

Подставив u и λ в выражение для вязкости, получим

$$\eta = \frac {2 \sqrt {mkT}}{3 \pi^{3/2} d^2}$$

Формула 16

Видим, что вязкость зависит от параметров молекулы (т и d) и от температуры газа, а от давления и плотности не зависит.

Значения вязкости некоторых жидких и газообразных веществ даны в приложении. Расплавленные металлы имеют вязкость того же порядка, что и обычные жидкости.

Так как при повышении температуры подвижность молекул увеличивается, вязкость при этом уменьшается (на примере воды это показано в приложении).

Особыми вязкостными свойствами обладает жидкий гелий. При температуре ниже 2,172 К (а температура перехода его в жидкое состояние при нормальном атмосферном давлении, т.е. температура кипения, равна 4,4 К, и при дальнейшем понижении температуры он остается жидкостью, не переходя в твердое состояние) он переходит в сверхтекучее состояние, в котором вязкость равна нулю. Это явление открыл в 1938 г. П.Л.Капица (Нобелевская премия, 1978).

МУ 4866: Изучение сил вязкого трения 6 – Студенты России

Метод Стокса

Одним из методов измерения вязкости веществ (вискозиметрии) является метод падающего

шарика, или метод Стокса (Stokes, 1851 г.). Английский физик Стокс показал, что на шарик, движущийся со скоростью v в вязкой среде, действует сила вязкого трения, равная F=3πηvd , где d − диаметр шарика.

Рассмотрим движение шарика при его падении. По второму закону Ньютона (рис. 4)

$$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F_А}$$

Или

$$m \frac{dv}{dt}= mg-F-F_А$$

Формула 17

где А — сила вязкого трения, FA =1/6*жπd3g) — сила Архимеда, mg= 1/6*(ρπd3g) — сила тяжести, ρж и ρ — плотности жидкости и материала шариков соответственно. Решением этого дифференциального уравнения будет следующая зависимость скорости от времени:

$$v(t)=v_y-(v_y-v_0)у^{-t/ \tau}$$

Формула 18

где v0 — начальная скорость шарика, а

$$v_y=\frac{gd^2 (\rho-\rho_ж)}{18 \eta} $$

— скорость установившегося движения (при t>>τ). Величина τ= ρd2/η есть время релаксации.

Эта величина показывает, насколько быстро устанавливается стационарный режим движения. Обычно считают, что при t ≈ 3τ движение практически не отличается от стационарного. Следовательно, измерив скорость vy, можно рассчитать вязкость жидкости.

Условие ламинарности движения жидкости определяется значением безразмерного параметра − числом Рейнольдса:

$$R= \frac {\rho_ж v d}{\eta}$$

Формула 19

где d − характерный размер движущегося тела (в данном случае диаметр шарика). Формула Стокса применима для значений R<1000, в противном случае движение становится турбулентным и формула Стокса неприменима.

Лабораторная установка для измерения вязкости жидкостей по методу Стокса представляет собой стеклянный сосуд, заполненный исследуемой жидкостью. Сверху, вдоль оси цилиндра, бросают шарики. В верхней и нижней частях сосуда имеются горизонтальные метки. Измеряя с помощью секундомера время движения шарика между метками и зная расстояние между ними, находят скорость установившегося движения шарика. Если цилиндр узкий, то в расчётную формулу надо внести поправки на влияние стенок.

С учётом этих поправок формула для расчёта вязкости примет вид:

$$\eta = \frac {gd^2t(\rho-\rho_ж)}{18L(1+2,4 \frac{d}{D})}$$

Формула 20

где L − расстояние между метками, D − диаметр внутренней части сосуда.

Порядок выполнения работы

  1. Измерить с помощью штангенциркуля внутренний диаметр сосуда, с помощью линейки − расстояние между горизонтальными метками на сосуде и с помощью микрометра − диаметры всех шариков, используемых в эксперименте. Ускорение силы тяжести считать равным 9,8 м/с2. Плотность жидкости и плотность вещества шариков указаны на лабораторной установке. Результаты занести в таблицу.
  2. Опуская поочередно шарики в жидкость, измерить время прохождения каждого из них на отрезке пути между метками. По формуле (20) вычислить вязкость жидкости η. Результаты занести в таблицу.
  3. Оценить погрешность результатов измерений и получить окончательный результат для значения η.
МУ 4866: Изучение сил вязкого трения 8 – Студенты России

4. По формуле (19) определить значение числа Рейнольдса для одного из опытов и сделать вывод о применимости формулы Стокса.

5. Оценить путь, пройденный шариком до установления стационарного режима. Очевидно, что за время t пройденный путь определяется интегралом:

$$s=\int_{0}^{t} v(t)dt $$

Показать, что при t = 3τ путь s = 2vyτ, и оценить эту величину.

Сравнить полученное значение с расстоянием, проходимым шариком от поверхности жидкости до верхней метки, и сделать вывод, можно ли к моменту прохождения шариком верхней метки считать его движение установившимся.

Приложение

Вязкости некоторых веществ (в мкПа·с)

Вязкость воды при разных температурах

Температура, °С020406080100
η17901010660470360280

Вязкость некоторых жидкостей (при 20 оС)

АцетонБензинГлицеринКастор. маслоСкипидарСпирт
3306501,5·1060,99·10615001200

Вязкость некоторых газов (при 20 оС)

АзотВодородВоздухКислородОкись углеродаУглекислый газ
17,58,818,120,218,416,0

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Объяснить молекулярно-кинетический механизм явления внутреннего трения.

    .

  2. Дать определение понятия вязкости и единиц ее измерения.

    .

  3. Какие измерения вносят наибольшую погрешность в результат косвенного измерения вязкости жидкости в ваших опытах?

    .

  4. Что такое ламинарное и турбулентное течения?

    .

  5. Имеется 2 шарика из одинакового материала, но различного размера. Какой шарик будет быстрее падать в вязкой жидкости? Когда шарик быстрее падает в вязкой жидкости: в узком сосуде или в широком?

    .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. – М.: Наука, 1979 (и по- следующие издания). – С. 252-256, 258-261, 400-404.
  2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. − М.: Высш.шк., 2001. – С. 62-66.

УДК 533.1

Изучение сил вязкого трения: методические указания к лабораторной работе / Рязан. гос. радиотехн. ун-т; сост.: Ю.В. Черкасова, А.С. Иваников. – Рязань, 2015. – 8 с.

Содержат элементы теории и метод определения вязкости жидкостей. Предназначены для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 4. Библиогр.: 2 назв.

Вязкое трение, ламинарное течение, метод Стокса, число Рейнольдса

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой доц. М.В. Дубков)

Изучение сил вязкого трения

Составители: Черкасова Юлия Вадимовна

Иваников Александр Сергеевич

Редактор Р.К. Мангутова Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 02.02.15. Формат бумаги 60 x 84 1/16.

Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТУ.

Поделитесь ссылкой: