МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха

Лабораторная работа 1-26: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха

Цель работы: Экспериментальное определение коэффициента внутреннего трения воздуха, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха по методу Пуазейля.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка УКЛО-2В-4

Элементы теории и метод эксперимента

В молекулярно-кинетической теории молекулы идеального газа представляют в виде абсолютно упругих шаров, которые движутся хаотически с различными скоростями. Рассмотрение такого движения и столкновения молекул объясняет многие свойства газов (теплопроводность, внутреннее трение и др.). Число столкновений будет тем больше, чем больше диаметр молекулы при одинаковой их концентрации.

Так как реальная молекула не является шаром, возникла необходимость ввести понятие эффективного диаметра молекулы. Эффективный диметр равен минимальному расстоянию, на котором одна молекула может пролететь мимо другой, не изменив своей траектории. Также эффективным диаметром можно считать наименьшее расстояние между центрами молекул при их столкновении.

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 1 – Студенты России

Введем понятие внутреннего трения (вязкости) газа на простейшем примере. Пусть между двумя параллельными плоскостями находится воздух (рис.1). Левая пластина неподвижна, правая пластина движется вверх с постоянной скоростью u0, увлекая за собой прилегающие к ней слои воздуха. Если движение воздуха — ламинарное (слоистое), то есть отсутствуют завихрения, то зависимость упорядоченной скорости от координаты X имеет вид, изображенный на рис 1. Величина du/dx называется проекцией градиента скорости упорядоченного движения на ось Х. Между слоями воздуха, движущимися с различными скоростями, происходит обмен молекулами, обусловленный беспорядочным тепловым движением молекул. В результате на слой газа справа от мысленно выбранной плоскости S (рис.1) действует тормозящая сила, направленная против скорости упорядоченного движения. Этот процесс описывают, используя понятие силы трения, возникающей между слоями воздуха, движущимися с разными скоростями. Сила трения F, действующая на участок поверхности плоского    слоя    площадью    S,    выражается

феноменологическим     (полученным     путем обобщения опытных данных) соотношением

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 3 – Студенты России
(1)

Соотношение (1) называют законом Ньютона для внутреннего трения, а η — коэффициентом внутреннего трения.

Молекулярно-кинетическая     теория     идеального     газа     дает следующее выражение для коэффициента внутреннего трения

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 5 – Студенты России
МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 7 – Студенты России

На передней панели лабораторной установки (рис.2) расположены: клапан К1 (1) перепуска воды из вспомогательного бачка в мерную ёмкость (6), клапан К2 (2) напуска воздуха в мерную ёмкость для перепуска воды из мерной ёмкости во вспомогательную с помощью трубки (8), водяной U-образный манометр (3), уровнемер с измерительными шкалами (4), капилляр (5) и тумблер с индикацией

«КОМПРЕССОР» (9) включения микрокомпрессора.

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 9 – Студенты России

Схема установки показана на рис. 3. Она включает в себя капилляр (5), соединенный одним концом через систему пневмопровода с мерной ёмкостью (6) и U-образным манометром (3). Другой конец капилляра сообщается с атмосферой. Мерная ёмкость соединена трубкой (8) со вспомогательным сосудом (10), в котором находится вода. С помощью трубопровода сосуд (10) соединен с микрокомпрессором. При закрытом клапане К2 и открытом клапане К1 вода из вспомогательной ёмкости

(10) через трубопровод перетекает в мерную ёмкость (6). При закрытом клапане К1 и открытом клапане К2 вода вытесняет воздух из вспомогательной ёмкости через капилляр в атмосферу. Так как сечение капилляра мало, то возникает разность давлений воздуха на его концах, которая измеряется водяным U-образным манометром. С помощью

секундомера измеряется время истечения заданного объёма воздуха из мерной ёмкости. Значение объема измеряется с помощью уровнемера (7). Для повторения опыта закрывают клапан К2 и, включив компрессор, открывают клапан К1. При этом вода перетекает из вспомогательной ёмкости (10) в мерную ёмкость (6). Изменение уровня воды в мерной ёмкости определяется по уровнемеру (7).

Поскольку разность давлений на концах капилляра в момент включения секундомера и в момент его выключения различна, то необходимо взять среднюю разность давлений за время проведения опыта.

Рассмотрим ламинарное течение воздуха в капилляре (рис. 4). Наличие сил внутреннего трения приводит к возникновению градиента скорости упорядоченного движения du/dr. Очевидно, что наибольшая скорость — на оси симметрии капилляра.

Пусть радиус капилляра r0, длина L. Воздух протекает справа налево вследствие разности давлений на концах капилляра p1-p2.

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 11 – Студенты России

Вырежем мысленно в газе цилиндрический слой с внутренним радиусом r, внешнем радиусом r+dr (рис. 5). На этот слой со стороны более быстрых слоев действует «ускоряющая» сила внутреннего трения                                                                        

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 13 – Студенты России

где S — площадь боковой поверхности цилиндра (S=2πrL).Таким образом,

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 15 – Студенты России
(4)
МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 17 – Студенты России

Со стороны более медленных слоев, прилегающих к выбранному, действует «замедляющая» сила F(r+dr), причем силы F(r) и F(r+dr) направлены в противоположные стороны. Результирующая сила, действующая на выбранный слой, может быть найдена с помощью соотношения F(r+dr)=F(r)+dF. Тогда F(r) — F(r + dr) = —dF .

Считая коэффициент внутреннего трения η не зависящим от r и опуская знаки модуля, из (4) получаем

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 19 – Студенты России
(5)

При отклонении от оси скорость упорядоченного движения частиц

воздуха уменьшается, так, что du/dr<0 . В связи с этим сила dF>0. Эта сила при стационарном течении воздуха равна силе dF’, действующей на слой из-за разности давлений p1-p2(рис. 5):

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 21 – Студенты России

Постоянную интегрирования С найдем из следующих соображений: при r=0 скорость упорядоченного движения достигает максимума, следовательно,

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 23 – Студенты России
МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 25 – Студенты России
(14)

Проинтегрируем  (14)   по   всей   площади  поперечного  сечения капилляра (от r=0 до r=r0):

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 27 – Студенты России

Из последнего соотношения получим формулу Пуазейля:

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 29 – Студенты России
(15)

Заметим, что объем протекающего за время t газа очень сильно зависит от радиуса капилляра (V ~ r04). Отметим также, что для газов ламинарное (слоистое) течение возможно лишь при малых скоростях течения (малых перепадах давления) и в весьма тонких капиллярах.

Из формулы Пуазейля выразим коэффициент внутреннего трения (вязкость) воздуха η. Для η получим:

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 31 – Студенты России
(16)

Разность давлений можно определить по разности уровней воды h1-h2в коленах U- образного манометра

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 33 – Студенты России

где ρв— плотность воды, g — ускорение свободного падения.

Объем воздуха, протекающего через капилляр за время t, равен объему вытесненной из измерительного сосуда (6) воды. На стенках сосуда (6) нанесены метки, по которым можно определить изменение объема воды.

Формула Пуазейля применима и к течению газа по трубке, если сжимаемостью газа можно пренебречь. Это возможно при условии малого перепада давлений на концах трубки, при ламинарном течении газа и постоянной температуре. О характере течения можно судить по значению так называемого числа Рейнольдса

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 35 – Студенты России
(18)

где r — плотность газа, трубки.

uср — средняя скорость его течения, r — радиус

При Re<1000 течение ламинарно, при Re>1000 – турбулентно.

Из (2) получаем выражение для средней длины свободного пробега молекулы:

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 37 – Студенты России

Давление воздуха Р в сосуде 3 равно атмосферному давлению. Отсюда получим:

МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 39 – Студенты России
МУ 4286: Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 41 – Студенты России

Порядок выполнения работы

  1. Тумблером «КОМПРЕССОР» включить электропитание микрокомпрессора.
  2. Открыть кран К1 и подождать, пока наполнится мерная ёмкость. Закрыть кран К1.
  3. Открыть кран К2 и одновременно включить секундомер. Произвести отсчет разности уровней жидкости в водяном U- образном манометре ΔhН. Результат записать в таблицу.
  4. В момент прохождения уровня воды в мерной ёмкости нижней отметки уровнемера выключить секундомер и повторно произвести отсчет разности уровней жидкости в водяном U- образном манометре ΔhК. Закрыть кран К2. Результат записать в таблицу.
  5. Пункты 2-4 повторить пять раз.
  6. Измерить и записать в таблицу значение атмосферного давления и температуры в лаборатории.
  7. Обработка результатов измерений.

а) для каждого измерения по формуле (17) вычислить начальное и конечное значения перепада давления на капилляре, а также среднюю величину разности давлений;

б) используя среднее значение перепада давления для каждого измерения по соотношениям (16) и (18), рассчитать коэффициент внутреннего трения воздуха η и среднюю длину свободного пробега молекул воздуха l . Молярную массу

воздуха принять равной μ=29 г/моль;

в) по формуле (20) для каждого измерения вычислить эффективный диаметр молекул воздуха. Плотность воздуха ρ=1.293 кг/м3;

г) усредняя по результатам всех измерений, найти средние значения коэффициента трения, длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха;

д) по   соотношению   (18)   определить   число   Рейнольдса.

Среднюю скорость течения воздуха в капилляре

uср

можно

определить из формулы

V = Suсрt , где S – площадь сечения

капилляра, V – объем воздуха, прошедшего через капилляр за время t;

е) оценить погрешность измерения.

Таблица

№ п/пΔhНΔРНΔhКΔРКtΔРсрηРатмТldэфф
1           
2           
3           
4           
5           
Средние значения      ηср  ср<dэфф>

Вопросы и задания для самоконтроля

  1. Сформулируйте основные положения молекулярно- кинетической теории.

    .

  2. Дайте определения следующих понятий: средняя длина пробега молекулы, эффективный диаметр молекулы, эффективное сечение столкновения, коэффициент вязкости, число Рейнольдса.

    .

  3. В каких условиях применима формула Пуазейля?

    .

  4. Опишите методику определения коэффициента вязкости и средней длины пробега молекул, используемую в данной работе.

    .

  5. Какие прямые измерения вносят наибольшие погрешности в результат косвенного измерения η, dэффи l ?

    .

  6. Выведите формулу Пуазейля.

    .

  7. Выведите, основываясь на молекулярно-кинетической теории, формулу для коэффициента вязкости газа.

    .

Библиографический список

  1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002.
  2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. СПб.: Лань, 2005.
  3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2003.

УДК 536.421

Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха: методические указания к лабораторной работе / Рязанский государственный радиотехнический университет; сост.: О.В. Рожков, О.А. Барычева, Е.С. Бобкова. — Рязань; РГРТУ, 2010.- 8 с.

Изложены элементы теории и метод определения коэффициента вязкого трения воздуха, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха по методу Пуазейля. Приводятся порядок выполнение работы, методические указания по расчету погрешностей, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы.

Предназначены для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 5. Библиогр.: 3 назв.

Идеальный газ, вязкое трение, эффективный диаметр, средняя длина свободного пробега, давление, метод Пуазейля

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой проф. Б.И. Колотилин)

Определение вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха

Составители: Р о ж к о в Олег Васильевич

Б а р ы ч е в а Ольга Анатольевна Б о б к о в а Екатерина Сергеевна

Редактор М.Е. Цветкова Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 10.02.10. Формат бумаги 60 x 84 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0, 5.

Уч.-изд. л. 0, 5. Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТУ.