Как найти наименьшее общее кратное

1. Методы вычисления наименьшего общего кратного
2. Методы расчета наименьшего общего кратного для трех и более чисел

Необходимость вычислять наименьшее кратное встречается в процессе приведения дробей к общему знаменателю. Сперва разберемся, что же обозначает словосочетание «наименьшее общее кратное».
Наименьшим общим кратным нескольких чисел \(a,b,c,d\) есть самое меньшее натуральное число, которое можно разделить на целые числа \(a,b,c,d\).

Процесс расчета наименьшего общего кратного переплетается с понятием наибольшего общего делителя. Наибольшим общим делителем чисел\( a,b,c,d\) является самое большое число, на которое без остатка можно разделить эти числа \(a,b,c,d\).

Для двух натуральных чисел \(a\) и \(b\) зависимость между вышеописанными величинами имеет следующее выражение:

\(НОД(a,b)∙НОК(a,b)=a∙b,\)

где \(НОК\) – наименьшее общее кратное, \(НОД\) – наибольший общий делитель.

Методы вычисления наименьшего общего кратного

Разберем приемы нахождения наименьшего общего кратного, их несколько:

• использование наибольшего общего делителя;
• применение разложения чисел на простые множители.

Разберем детальнее эти приемы

1. Для определения наименьшего общего кратного с применением наибольшего общего делителя применяют несколько методов:

• Бинарный метод.
• Алгоритм Евклида.

2. Для расчета наименьшего общего кратного с применением разложения чисел разберемся сперва, что это обозначает.

Разложение числа на простые множители являет собой преобразование числа в форму произведения простых чисел, возводимых в различные степени.

Значит, все натуральные числа, за исключением единицы, есть простые или могут разлаживаться на простые множители. Последние имеют название – составные.

В процессе раскладывания чисел на простые множители, следует помнить и соблюдать базовые принципы делимости.

Существуют взаимно простые числа, это такие пары чисел, для которых наибольший общий делитель равняется единице. Во время расчета наименьшего общего кратного для подобных чисел, в процессе их расклада не существует общих простых множителей.

Еще одно правило, касающееся взаимно простых чисел, гласит о том, что если некоторое число можно без остатка разделить на два взаимно простых числа, то данное число также разделится на их произведение.
Зачастую применяют принцип канонического разложения, в процессе него числа раскладывают по возрастанию.

Порядок расчета наименьшего общего кратного разложением числа на простые множители выглядит так:

•  данные числа разлаживаем на простые множители;
• выбираем все простые множители и записываем в отдельную строку, игнорируя повторяющиеся;
• для каждого простого множителя определяем максимальную степень, встречающуюся в разложениях;
• подсчитываем произведение всех записанных множителей, не забывая возвести в степень соответствующие из них. Наибольшим общим делителем этих чисел считается результат умножения их простых множителей.
• после вычисляем наименьшее общее кратное по уравнению:

\(НОК(a,b)={|a∙b|\overНОД(a,b)} .\)

Методы расчета наименьшего общего кратного для трех и более чисел

При расчете наименьшего общего кратного более, чем двух чисел, прибегают к тем же методам, что и для расчета наименьшего общего кратного двух чисел, которые мы рассмотрели выше, а именно методу разложения числа и методу расчета наибольшего общего делителя.

При расчете способом вычисления наибольшего общего делителя. Вначале берут два любых числа из заданного множества чисел, считают для них наименьшее общее кратное, потом берут еще одно число, и считают наименьшее общее кратное для него и посчитанного наименьшего общего кратного двух предыдущих чисел. Так повторяют, пока не задействуют все числа множества.

Разберем некоторые решения подобных задач

Задача 1. Нужно привести к общему знаменателю данные дроби \({7\over 132}; {9\over154}\).
Процесс решения:
1. Ищем наименьшее общее кратное дробей \(7\over132\) и \(9\over154\). Применим каноническое разложение их знаменателей:
\(132=1∙2^2∙3^1∙11^1\);
\(154=1∙2^2∙7^1∙11^1\).

2. Определяем наименьшее общее кратное:
\(НОК=1∙2^2∙3^1∙7^1∙11^1=924\).

3. Определяем множители для обеих дробей:
\(924:132=7; 924:154=6\).

4.Теперь умножим и получаем общий знаменатель:
\({7∙7\over132∙7}={49\over924}; {9∙6\over154∙6}={54\over924}\).

Задача 2. Найти общий знаменатель заданных дробей \(25\over104\); \(37\over520\).
Процесс решения:
1. Для приведения дробей \(25\over104\) и \(37\over520\) к общему знаменателю, вначале считаем общее кратное их знаменателей, раскладывая их на простые множители:
\(104=1∙2^3∙13\);
\(520=1∙2^3∙5∙13\).

2.Определяем наименьшее общее кратное, для чего в ряд выписываем все простые множители, что попадаются в разложенных рядах всех чисел с их максимальной степенью:
\(НОК=1∙2^3∙5∙13=520\).

3.После находим множители для каждой дроби и умножаем на них, чтобы получить общий знаменатель для всех данных дробей.
Для дроби\( 25\over104\) этот множитель будет равняться \(520:104=5\), для дроби \(37\over520\) он равняется \(520:520=1\), соответственно, дробь \(25\over104\) необходимо умножить на \(5\over5\), а дробь \(37\over520\) на \(1\over1\):

4.Теперь умножим и получаем общий знаменатель:
\({25∙5\over 104∙5}={125\over 520}; {37∙1\over 520∙1}={37\over520}\).  

Задача 3. Определить общий знаменатель для дробей  \(3\over4\); \(13\over20\);  \(41\over60\); \(17\over75\); \(11\over25\).
Процесс решения:
1. Раскладываем знаменатели всех заданных дробей на простые множители:
\(4=1∙2^2;\\ 20=1∙2^2∙5^1;\\ 60=1∙2^2∙3^1∙5^1;\\ 75=1∙3^1∙5^2;\\ 25=1∙5^2\\\).

2.После этого вычисляем наименьшее общее кратное:
\(НОК=1∙2^2∙3^1∙5^2=300\).

3. Определяем множители для каждой данной дроби, они будут равняться:
 \(300:4=75;300:20=15;300:60=5;300:75=4;300:25=12\).

4. В итоге перемножения имеем дроби следующего вида:
\({3∙75\over4∙75}={225\over300};{13∙15\over20∙15}={195\over300};{41∙5\over60∙5}={205\over300};  {17∙4\over75∙4}={68\over300};  {11∙12\over25∙12}={132\over300}\).