МУ 3927: Изучение упругих свойств тел. Определение модуля сдвига
Лабораторная работа 1-24: Изучение упругих свойств тел. Определение модуля сдвига
Цель работы: Исследование упругих свойств твердых тел. Определение модуля сдвига методом растяжения пружины и с помощью пружинного маятника.
Приборы и принадлежности: лабораторная установка ФП-19, штангенциркуль.
[mathjax]
Элементы теории и метод эксперимента
Большинство веществ в твердом состоянии имеют кристаллическую структуру. Атомы таких тел расположены в определенном порядке, который простирается на многие межмолекулярные расстояния, т.е. наблюдается «дальний порядок». Такие тела сопротивляются любому деформированию. Следовательно, внешние силы должны совершать работу как в случае изменения объема твердого тела, так и при изменении формы твердого тела, без изменения его объема. В этом случае закон Паскаля несправедлив – передаваемое твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления, возникающие в твердом теле при его деформации, называются упругими напряжениями τ и определяются отношением
$$\tau=\frac {F}{S}$$
F – деформирующая сила,
S – площадь поперечного сечения.
Простейшим видом деформации твердого тела является простое растяжение. Оно возникает в тонком стержне, один из концов которого закреплен, а к другому приложена сила F, стремящаяся растянуть стержень. При простом растяжении все элементы объема тела деформируются одинаковым образом.
Благодаря большой сопротивляемости твердых тел испытываемые ими деформации обычно невелики. Малыми являются величины относительного удлинения твердого тела
$$\epsilon=\frac{\triangle}{l_0}$$
ℓ0-длина стержня до деформации;
Δ — удлинение стержня.
Для простого растяжения закон Гука записывается в следующем виде
$$\tau=E \epsilon$$
Формула 1
Модуль Юнга E характеризует упругие свойства материала твердого тела и имеет размерность давления. Однако эта характеристика не является полной. При продольном растяжении происходит сокращение его поперечных размеров: удлиняясь, стержень становится более тонким.
Отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению есть характерная для каждого данного материала величина, которую называют коэффициентом Пуассона (μ).
Деформации, при которых меняется только форма, но не объем тела, называются сдвигом. Рассмотрим деформацию сдвига на примере бруска, закрепленного на некоторой поверхности. Ее проще осуществить, если приложить силы, касательные к поверхности бруска. Под действием этих сил произойдет сдвиг верхней грани относительно нижней грани (см. рис. 1). Угол сдвига γ при малых деформациях является малой величиной, поэтому высота параллелепипеда не изменится и, следовательно, не изменится объем. Относительный сдвиг определяется следующим отношением и при малых углах численно равен углу сдвига, выраженному в радианах.
$$\frac{\triangle}{a}=tg \gamma$$
Закон Гука для чистого сдвига имеет вид
$$\tau=G \gamma$$
Формула 2
где G – модуль сдвига.
Модуль сдвига определяется модулем Юнга и коэффициентом Пуассона (3) и выражается в единицах давления. Данный коэффициент должен быть величиной положительной (только при этом условии будет положительной упругая энергия, запасаемая в теле, подвергнутом деформации сдвига).
$$G=\frac{E}{2(1+\mu)}$$
Формула 3
Внешние силы, создающие упругую деформацию, совершают некоторую работу, приводящую к накоплению в объеме материала в потенциальной энергии деформации. Удельная потенциальная энергия деформации (потенциальная энергия, отнесенная к единице объема) определяется формулой
$$u=\frac{1}{2}G \gamma^2$$
Формула 4
Если по объему материала V касательные напряжения имеют переменное значение, то энергия деформации U в объеме V находится как
$$U=\int_VudV$$
Формула 5
Сдвиг прямоугольного бруска представляет собой однородную деформацию. Деформация пружины (см. рис. 2) является деформацией чистого сдвига, но неоднородной. Такая деформация возникает, если, закрепив один конец стержня (проволоки), закрутить его второй конец. При этом различные сечения стержня (проволоки) будут поворачиваться на различные углы относительно закрепленного основания.
Формулу, необходимую для расчета потенциальной энергии, можно получить с помощью выражений (4) и (5). Однако можно поступить иначе.
Рассмотрим отрезок вала длиной dz , получивший угол закручивания dj от момента Мz. Момент упругих сил возрастает пропорционально углу dj . Поэтому работа этого момента, соответствующая площади графика Мz= f(dφ), равна
$$dA=\frac{1}{2}M_zd \phi$$
Формула 6
Следовательно, энергия, накопленная в элементе стержня, dU=dA. Определив момент упругих сил, и интегрируя выражение (6), получаем формулу
$$U=\frac{M^2_z l}{G \pi r^4}$$
Формула 7
Применим полученное выражение для пружины из N витков диаметром D (см. рис. 2). Момент упругих сил Мz=F·D/2; длина пружины ℓ=πDN. Потенциальная энергия упругодеформированной пружины
$$U=\frac{Fx}{2}$$
Формула 8
Объединив (7) и (8), получим формулу для определения модуля сдвига методом растяжения пружины
$$G=\frac{8FD^3N}{xd^4}$$
Формула 9
Если заставить груз колебаться на пружине, то, измеряя период этих колебаний, можно определить модуль сдвига материала пружины. Период слабозатухающих колебаний практически равен периоду свободных колебаний
$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
k — жёсткость пружины
$$k=\frac {F}{x}$$
Модуль сдвига в этом случае будет рассчитан по формуле
$$G=\frac{32\pi NmD^3}{T^2d^4}$$
Формула 10
Лабораторная установка ФП-19, изображенная на рис. 3, состоит из штатива 1, кронштейна с пружиной 2, кронштейна с фотодатчиком 3, набором сменных грузов 4.
Порядок выполнения работы
Определение модуля сдвига методом растяжения пружины
- Поднять кронштейн с пружиной так, чтобы кронштейн с фотодатчиком не мешал измерениям. Повесить на пружину груз массой m1. С помощью линейки заметить расположение нижней плоскости груза x1.
- Повесить на пружину груз массой m2 . С помощью линейки заметить расположение нижней плоскости груза x2.
- Определить удлинение пружины x = x1-x2.
- С помощью штангенциркуля измерить диаметр пружины D и диаметр стержня, из которого сделана пружина d.
- Определить модуль сдвига по формуле (9), в которой F = mg – сила, растягивающая пружину, m = m2- m1, N – число витков в пружине.
Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника
- Подвесить одну из исследуемых пружин на кронштейн. Повесить на пружину наборный груз.
- Кронштейн с вертикально подвешенной пружиной закрепить на вертикальной стойке таким образом, чтобы наборный груз, подвешенный к пружине, своей нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика, закрепленного в нижней части стойки (оптическая ось фотодатчика совпадает с рисками на фотодатчике).
- Нажать кнопку «СЕТЬ» блока. При этом должно включиться табло индикации.
- Поднять груз немного вверх и отпустить. При этом груз начинает совершать колебательные движения на пружине. Нажать кнопку «ПУСК», определить значение времени 20 колебаний груза по таймеру.
- Нажать кнопку «СТОП».
- Определить период колебаний груза по формуле:
$$T=\frac{t}{n}$$
t – время колебаний;
n – число колебаний.
- Определить модуль сдвига по формуле (10)
Определить относительную погрешность измерений модуля сдвига, проведенных различными методами. Сравнить значения модуля сдвига, полученные экспериментально разными методами, с значениями, приведенными в таблице на установке. Сделать вывод о марке стали, из которой сделана пружина.
Контрольные вопросы
Перечислите виды деформаций. Какие из них являются однородными?
.
Как определяется момент сил при неоднородной деформации кручения?
.
Какими величинами характеризуются упругие свойства твердого тела? Как они определяются?
.
Сформулировать закон Гука для различных видов деформации. При каких условиях он справедлив?
.
Какой из рассмотренных методов будет давать различный результат в разных точках планеты? Почему?
.
Библиографический список
- Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: Наука, 1989. С. 47-51.
- Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 2003. С. 132-137, 147-150.
Приложение
Определение момента сил при кручении стержня
Рассмотрим кручение стержня, при котором поперечные сечения, поворачиваясь вокруг оси z, остаются плоскими. Будем считать, что каждое поперечное сечение поворачивается вокруг оси z как жесткий тонкий диск.
Распределение напряжений τ вдоль произвольного радиуса ρ в сечении изображено на рис.4,а. Во всех точках окружности радиусом ρ напряжение τ = const и направлено по касательной к этой окружности. Крутящий момент
$$M=\int_0^rdF \rho= \int_0^r \tau d S \rho$$
Напряжение τ определяется законом Гука:
$$\tau=G \gamma$$
где угол сдвига γ:
$$\gamma= \frac{d \phi}{dz}\rho $$
Площадь, в пределах которой τ=const, равна dS= 2πρdρ
Следовательно
$$M_z=\int_0^r G \frac{d \phi}{dz}\rho 2\pi d \rho= \frac{1}{2}G \frac{d \phi}{dz} \pi r^4$$
Данное выражение используется для определения угла dφ и расчета потенциальной энергии U.
УДК 533.1
Изучение упругих свойств тел. Определение модуля сдвига: методические указания к лабораторной работе / Рязанский государственный радиотехнический университет.; Сост.: В.В.Иняков, О.В.Рожков. — Рязань, 2006 — 8 с.
Содержат описание лабораторной работы по курсу общей физики, раздел «Молекулярная физика».
Предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Физика».
Ил. 4. Библиогр.: 2 назв.
Деформация, упругие напряжения, модуль Юнга, модуль сдвига
Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой проф. Б.И.Колотилин)
Изучение упругих свойств тел. Определение модуля сдвига.
Составители: Иняков Валерий Викторович, Рожков Олег Васильевич
Редактор Н.А.Орлова Корректор С.В.Макушина
Подписано в печать 20.06.06 . Формат бумаги 60 ´ 84 1/16.
Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.
Уч.-изд. л. 0,5. Тираж 200 экз. Заказ .
Рязанский государственный радиотехнический университет.
390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
Редакционно-издательский центр РГРТУ.