Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение

1. Свойства функций распределения
2. Использование на практике

Функции распределения являются универсальными характеристиками. Они существуют как для дискретных, так и для непрерывных величин, иными словами, все случайные величины имеют свои функции распределения.

Обозначается \(P(X

\(F_X (x)=P(X

Свойства функций распределения

Рассмотрим, какими свойствами обладают все функции распределения:

  • они не убывающие, то есть при \(x_1
  • справедливы следующие пределы: \(\lim\limits_{x \to -\infty}F_X (x)=0;\lim\limits_{x \to +\infty}F_X (x)=1\);
  • в любой точке они непрерывны слева, то есть  \(F_X (x_0-0)=\lim\limits_{x →x_0-0}⁡F_X (x)= F_X (x_0 )\).

Разберем доказательства этих свойств:

1)При неравенстве \(x_1

\(X

Так как вероятность является монотонной функцией события, будет справедливо следующее:
\(F_X (x_1 )=P{X

\(\lim\limits_{x \to -\infty}F_X (x)=0;\lim\limits_{x \to +\infty}F_X (x)=1\).

Для этого определим предел какой-либо подпоследовательности {\({x_n }\)}, так как сам факт существования предела говорит о совпадении всех частичных пределов.

К примеру, попробуем доказать, что \(F_X (-n)→0\), если \(n→∞\). Разберем вложенную последовательность событий, что убывает \(B_n\)\(=\){\(X<-n\)}:

\(B_(n+1)=\){\(X<-(n+1)\)}\(⊆B_n=\){\(X<-n\)}   для любых \(n≥1\).

Пересечение \(B\) всех данных событий будет состоять только из \(ω\), для которых \(X(ω)\) будет меньше, чем любой вещественное число. При этом для любого элементарного результата \(ω\) значение \(X(ω)\) будет вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Другими словами, пересечение событий \(B_n\) не имеет элементарных исходов. В соответствии со свойством непрерывности меры, \(F_X (-n)=P(B_n )→P(B)=0\), если \(n→∞\). Что и требовалось доказать.

3) Докажем, что \(F_X (x_0-1/n)→F_X (x_0)\), если \(n→∞\). Другими словами, докажем стремление к нулю такой разности:

\(F_X (x_0 )-F_X (x_0-1/n)=P(X

что и следовало доказать.

Использование на практике

Рассмотрим примеры применения свойств функций распределения.

Пример 1. В урне лежат шары, в количестве 7 штук, из них 4 белые и 3 черные. В случайном порядке из урны достают 3 шара. Определить закон распределения дискретной случайной величины и вероятность того, что попадется более 2 белых шаров.

Решение:
Обозначим событие \(A_k\), которое заключается в том, что достанут \(k\) белых шаров.
k может принять значения 0, 1, 2, 3. Присвоим этим значениям вероятности \(p_0, p_1,p_2,p_3\).
Рассчитаем вероятности по формуле:

\(p_k={C_m^k∙C_n-m^s-k\over C_n^s }\).

Подставив значения, рассчитываем вероятности попадания белых шаров:
\(p_0=p(k=0)={(C_4^0∙C_3^3)\over(C_7^3 )}={1\over35}\);
\(p_1=p(k=1)={C_4^1∙C_3^2\over C_7^3 }={12\over35}\);
\(p_2=p(k=2)={C_4^2∙C_3^1\over C_7^3} ={18\over35}\);
\(p_3=p(k=3)={C_4^3∙C_3^0\over C_7^3 }={4\over35}\);
Таким образом, закон распределения этой случайной величины примет такой вид:

\(x_i\)
0
1
2
3

\(p_i\)
\({1\over35}\)
\({12\over35}\)
\({18\over35}\)
\({4\over35}\)

Пусть \(A\) обозначает событие, которое заключается в том, что из урны достали больше 2 белых шаров. Вероятность данного события вычисляется по формуле:

\(P(A)=\)\(∑_{k=2}^3 \)\(P( A_k)=\)\(∑_{k=2}^3 \)\({C_m^k∙C_{n-m}^{s-k}\over C_n^s }\).

В нашем случае вероятность события A будет равняться:

\(P(A)=P(A_2 )+P(A_3 )={18\over35}+{4\over35}={22\over35}\).

При заданных натуральных числах \(m,n,s\), при \(m≤ s ≤n\). При том, что вероятные значения дискретной случайной величины равняются \(0,1,2,…,m\), а вероятности рассчитываются с помощью формулы:

\(p_k= {C_m^k∙C_{n-m}^{s-k}\over C_n^s }\),

тогда случайная величина будет иметь гипергеометрический закон распределения.

В нашем примере случайная величина будет иметь гипергеометрический закон распределения при \(m=4,n=7,s=3\).

Пример 2. Имеется 50 изделий, из которых окрашены 20. Определить вероятность того, что при извлечении 5 случайных изделий, среди них будет ровно 3 окрашено.

Решение:
В соответствии с условием: \(n=50,m=20,s=5,k=3\). Определим вероятность:

\(P(x=3)={C_{20}^3∙C_{30}^2)\over C_{50}^5 }=0.234.\)

Пример 3. В лотерее предложено 45 видов спорта. Игрок отметил в анкете 6 видов. При совпадении не менее трех видов спорта по некоторым шести числам, выпадающим в тираже, игрок выиграет. Определить вероятность возможной победы.

Решение:
Пускай событие \(A_k\), которое заключается в том, что игрок угадает \(k\) видов спорта. Подставив в формулу расчета вероятности возможные значения, получим:

\(p_k={C_6^k∙C_{45-6}^{6-k}\over C_{45}^6}.\)

Пусть A обозначает событие, которое заключается в том, что игрок победит. Вероятность данного события вычисляется по формуле:

\(P(A)=∑_{k=3}^6=P(A_k)=∑_{k=3}^6 {C_6^k∙C_{45-6}^{6-k}\over C_{45}^6} \)

Тогда закон распределения этой случайной величины примет такой вид:

\(x_i\)
0
1
2
3
4
5
6

\(p_i\)
0,435965
0,413019
0,132378
0,017650
0,000969
0,000018
0,000000

В данном примере вероятность события \(A\) будет равняться:

\(P(A)=P(A_3 )+P(A_4 )+P(A_5 )+P(A_6 )=0,017650+0,000696+0,000018+0,000000=0,018638\).

Источник